I NUMERI REALI
I numeri reali sono l'insieme dei numeri:
NUMERI RAZIONALI
- interi es. 11, 23, 657, -56, -90 ecc...
- naturali positivi es. 1, 56, 875 ecc...
- naturali negativi es. -5, -86, -345 ecc...
NUMERI IRRAZIONALI
- decimali es. 1,4 - 54,76 ecc...
- decimali limitati es. 1,8 - 23, 76 ecc...
- decimali illimitati es. 6, 8739...
- decimali illimati periodici semplici es. 6, 9999..
- decimali illimitati periodici misti es. 3, 566666...
NUMERI IRRAZIONALI
In matematica, un numero irrazionale è un numero reale che non è un numero razionale, cioè non può essere scritto come una frazione a / b con a e b interi e b diverso da 0.
I numeri irrazionali sono esattamente quei numeri la cui espansione in qualunque base non termina mai e non forma una sequenza periodica.
Alcuni numeri irrazionali sono numeri algebrici come (la radice quadrata di 2) e (la radice cubica di 5).
Esempi di numeri irrazionali:
Le radici quadrate di alcuni numeri.
NUMERI DECIMALI ILLIMITATI
I numeri decimali illimitati, sono quei numeri decimali dove, dopo la virgola, si ripete un numero:
Possono essere periodici semplici o periodici misti.
sono periodici semplici quando dopo la virgola il numero si ripete, es. 1,66666....
mentre sono periodici misti, quando dopo la virgola c'è un numero che però non si ripete , che precede il numero che si ripeterà. es. 1.5666666....
Grandezze direttamente e inversamente proporzionali
Due grandezze variabili x e y sono direttamente proporzionali se, al raddoppiare, triplicare di x segue il raddoppiare, triplicare di y.
Due grandezze variabili x e y sono inversamente proporzionali se, al raddoppiare, triplicare di x, diventa la metà, un terzo la variabile y
I Numeri Relativi
Per il confronto di due numeri relativi bisogna considerare la retta: è più grande il numero che sulla retta sta dopo percorrendo la retta nel senso fissato
Un numero relativo è formato dal segno e dal modulo o valore assoluto.
Segno = + e –
Modulo o valore assoluto = numero senza segno
Esempio:
+ 5 = numero relativo
+ = segno
5 = Modulo
- 5 = numero relativo
- = segno
5 = Modulo
Due numeri relativi sono:
- Concordi, quando hanno lo stesso segno
Esempio: + 5 e +18
- Discordi, quando il segno è diverso
Esempio: +5 e –18
- Uguali, quando hanno lo stesso segno e lo stesso modulo: Esempio: +5 e +5
- Opposti, quando hanno lo stesso modulo e segno diverso: Esempio: +5 e -5
1) Numeri concordi:
La somma di due numeri relativi concordi è un numero concorde con i dati e che ha per modulo la somma dei dati.
Esempio 1:
(+3) + (+5) = + 3 + 5 = + 8
Il + si può omettere
Esempio 2:
(-3) + (-5) = - 3 – 5 = - 8
2) Numeri discordi:
La somma di due numeri relativi discordi è un numero che ha il segno del numero con modulo maggiore e per modulo la differenza dei moduli
Esempio:
(+5) + (-3) = 5 – 3 = 2
SOTTRAZIONE TRA NUMERI RELATIVI
Per sottrarre due numeri relativi si somma al primo l’opposto del secondo.
Esempio 1:
(+3) – (+2) = 3 – 2 = 1
Esempio 2:
(+4) – (-3) = 4 + 3 = 7
Addizione e sottrazione di numeri relativi si dicono somma algebrica
MOLTIPLICAZIONE TRA NUMERI RELATIVI
1) Numeri concordi:
Il prodotto di due numeri concordi è un numero positivo che ha per modulo il prodotto dei moduli.
Esempio 1:
(+5) * (+3) = +15
Il * può essere omesso e si ha:
(+5) (+3) = 15
Esempio 2:
(-5) (-3) = +15
2) Numeri discordi:
Il prodotto di due numeri discordi è un numero negativo che ha per modulo il prodotto dei moduli.
Esempio:
(-3) (+5) = -15
Ricapitolando si ha:
+ * + = +
- * - = +
Concordi = +
+ * - = -
- * + = -
Discordi = -
POTENZA DI NUMERI INTERI RELATIVI
1) Numeri positivi:
Il risultato di una potenza di un numero positivo è un numero positivo che ha per modulo la potenza del modulo.
Esempio:
(+3)2 = (+3) (+3) = + 9
2) Numeri negativi:
Il risultato di una potenza di un numero positivo è un numero che ha per modulo la potenza del modulo, mentre il segno è + se l’esponente è pari, mentre è – se l’esponente è dispari.
Esempio 1:
(-3)2 = (-3) (-3) = +9
Esempio 2:
(-3)3 = (-3) (-3) (-3) = -27
NUMERI RAZIONALI RELATIVI
Sono detti numeri razionali relativi quei numeri frazionari con segno.
Esempio:
L’addizione e la sottrazione dei numeri razionali relativi seguono le regole della somma algebrica.
Esempio:
La moltiplicazione e la divisione dei numeri razionali relativi seguono le regole della moltiplicazione e della divisione delle frazione e i segni quella della moltiplicazione dei numeri interi razionali.
Esempio:
I Monomi
Un MONOMIO è il PRODOTTO di più FATTORI rappresentati da NUMERI e LETTERE.
Ad esempio:
sono tre monomi.
Infatti:
Nei monomi, quindi, non compaiono MAI i segni dell'ADDIZIONE e/o della SOTTRAZIONE.
Ad esempio
non sono monomi perché in essi compaiono i segni dell'addizione e della sottrazione come abbiamo evidenziato nell'immagine sottostante.
Invece
è un monomio.
Infatti, se moltiplichiamo tra loro i fattori numerici (+2) e (-3) abbiamo.
Successivamente moltiplichiamo i fattori letterali che hanno la stessa base, ovvero a. Il prodotto di due potenze aventi la stessa base e una potenza avente la stessa base e con esponente uguale alla somma degli esponenti: quindi a per a è uguale ad a alla seconda.
Quello che abbiamo adesso è un monomio esattamente come quelli che abbiamo visto prima.
Questo MONOMIO si dice RIDOTTO A FORMA NORMALE.
Possiamo affermare, quindi, che un monomio si dice ridotto a forma normale quando assume la sua forma tipica che è quella del prodotto tra un solo fattore numerico e di fattori letterali, in cui ciascuna lettera compare una sola volta elevata ad un certo esponente.
In un monomio ridotto a forma normale, chiamiamo:
-
COEFFICIENTE il FATTORE NUMERICO;
-
PARTE LETTERALE il prodotto dei FATTORI LETTERALI COI LORO ESPONENTI.
Esempio: +3 a2b
COEFFICIENTE+3
PARTE LETTERALEa2b
Esempio: -5x3y2
COEFFICIENTE-5
PARTE LETTERALEx3y2
Esempio: -1/3ab2c
COEFFICIENTE-1/3
PARTE LETTERALEab2c
Si chiama MONOMIO NULLO il monomio che ha per COEFFICIENTE lo ZERO.
Infatti, moltiplicando per zero la parte letterale, il risultato è zero.
Si chiama SEGNO DEL MONOMIO il SEGNO DEL COEFFICIENTE del monomio.
MONOMIOSEGNO DEL MONOMIO
+4ab+
-5a-
Il segno + davanti ad un monomio può essere tralasciato. Ad esempio possiamo scrivere indifferentemente:
+3a oppure 3a.
Se il monomio ha coefficiente 1, esso si può tralasciare. Ad esempio possiamo scrivere:
+1a oppure+a oppure, potendo tralasciare anche il segno +a
-1a oppure -a in questo caso il segno deve essere sempre indicato, poiché esso è -
proporzioni
cosa sono?
una proporzione nn e altro che un ugualianza tra due rapporti.
ad esempio A:B=C:D.
le prporzioni anno una serie di propieta :
invertire
permutare i medi
permutare gli estremi
scomporre
A:B=C:D
NUMERI RAZIONALI
Detto in altre parole, (che in matematica si indica con il simbolo Q) è l'insieme di tutti i numeri sotto forma di Frazione
Iniziamo col dire che ogni FRAZIONE può essere scritta come il RISULTATO DELLA DIVISIONE tra il NUMERATORE e il DENOMINATORE. In altre parole possiamo dire che:
NUMERI INTERI
L'insieme Q è detto insieme dei NUMERI RAZIONALI RELATIVI o, più semplicemente, insieme dei NUMERI RAZIONALI. Infatti la parola razionale viene dal latino ratio che significa rapporto.
5/2 = 2,5
6/4 = 1,5
12/5 = 2,4.
l'insieme dei numeri interi
Anche qua potremmo eseguire le seguenti operazioni:
procede sia a destra che a sinistra quindi i numeri vanno da - fino a +
Per indicare i numeri stavolta useremo sempre un segmento con origine in zero e con una freccia che indichi la destra se il numero e' positivo e la sinistra se il numero e' negativo ( tipo vettore)
ADDIZIONE
SOTTRAZIONE
MOLTIPLICAZIONE
DIVISIONE
I NUMERI NEGATIVI (-)
Il risultato di una potenza di un numero positivo è un numero che ha per modulo la potenza del modulo, mentre il segno è + se l’esponente è pari, mentre è – se l’esponente è dispari.
Esempio 1:
(-3)2 = (-3) (-3) = +9
I NUMERI POSITIVI (+)
Il risultato di una potenza di un numero positivo è un numero positivo che ha per modulo la potenza del modulo.
Esempio:
(+3)2 = (+3) (+3) = + 9
